El problema de la liebre

Tendria yo como unos 10 años cuando leí el siguiente acertijo en un libro llamado “A jugar con los números”:

Una liebre pesa 10 libras más la mitad de su peso. ¿Cuál es el peso de la liebre?

Inmediatamente llegué a una respuesta: 15. Busqué la solución al final del libro y decía simplemente:

20 libras (y no 15 como era de esperar).

Ni una palabra más ni una palabra menos.

Pregunté a algunos adultos muy pacientes y algunos también decían que 15. Si alguien me dijo que 20 fue por  usar alguna herramienta matemática (seguramente álgebra, pero yo ni si quiera sabía lo que era).

Cuando aprendí álgebra la ecuación resultó obvia:

p = 10 + p/2

Y manipular la ecuación para dejar sola la p es fácil: primero se multiplica todo por 2:

2p = 2*10 + 2p/2

2p = 20 + p

Y se le resta p a todo:

2pp = 20 + pp

p = 20

Bien, ya tengo la respuesta. Confirma que mi intuición estaba mal. Pero no me quedo agusto si hay una discrepancia entre la realidad y mi interpretación de la realidad. Ahora, ¿cómo corregir mi intuición? ¿Dónde estaba el error? ¿Podía haberlo comprendido yo, de niño, sin conocimiento de álgebra?

Otros aspectos del mismo problema

El problema resonó en mi cabeza mucho tiempo y con el tiempo fui descubriéndole puntos de análisis según diferentes aspectos hasta volverse en uno de mis favoritos.

Me gusta porque es un problema que no es matemáticamente difícil. Es la interpretación e intuición lo que estamos retando. Permite discutir el análisis sin tocar el álgebra y es un problema fácil de captar.

El problema tiene algunos aspectos desde los que se pueden sacar diferentes conclusiones. La simplicidad matemática del problema permite describir cada aspecto en pocas líneas y además relacionarlos todos. Esto permite que podamos pulir nuestro proceso de pensamiento.

El aspecto lingüístico

El ser humano tiende a dividir los problemas en partes. Es más fácil, práctico y supongo que hasta forma parte de nuestra evolución, pero no todos los problemas son divisibles y este es uno de ellos.

En este problema el principal reto es la frase “una liebre pesa 10 libras”, la cual implanta una asociación (errónea) textual: la liebre pesa 10 libras. Con el problema dividido y un punto de partida: si pesa 10 libras, la mitad de su peso es 5 libras, entonces son 15 libras. De ahí llegamos a la respuesta incorrecta.

En realidad el problema no dice que pesa 10 libras, sino 10 libras más la mitad de su peso.

Sin embargo, es curioso lo que ocurre si redactamos el mismo problema de otra manera:

Una liebre pesa la mitad de su peso más 10 libras.

La asociación errónea desaparece más fácilmente. Matemáticamente sigue siendo una ecuación equivalente (en esencia, la misma),

p = p/2 + 10

porque bien sabemos que 5+8 = 8+5 por la propiedad conmutativa de la adición.

Estuve platicando con alguien que batalla con este problema y al explicarle el planteamiento invertido me dijo: pero es que ahora no sé cuánto pesa la liebre. Es decir, la asociación desapareció pero permaneció la expectativa de algún dato como punto de partida. Esto pudo haber ocurrido sólo por que la discusión previa del problema en su forma original dejó una estructura mental donde extistía este dato de partida y se convirtió en un cabo suelto.

Me pregunto qué pasaría si a dos grupos numerosos de niños se les pone el problema de manera independiente, sin conocimiento previo del mismo en ambas versiones. Me pregunto que ocurrirá si una vez dado suficiente tiempo, se le plantea a cada grupo la correspondiente inversión.

Me pregunto qué pasaría si repetimos el experimento con adultos que no tienen preparación algebraica.

El aspecto lógico

¿Es posible darse cuenta al hacer la errónea asociación, p = 10, de que se está cometiendo un error?

Puesto que el problema consiste en encontrar el valor de p, el problema estaría resuelto al saber que p = 10. Entonces la liebre ya no puede pesar otra cosa. Con la asociación hecha se vuelve absurdo decir que la liebre pesa 10 + algo, porque entonces p milagrosamente dejaría de valer 10 para pasar a valer 15. Esto es una contradicción lógica al tomar dos valores simultáneamente.

Trayendo este análisis lógico a lo físico: si uno coloca la liebre en una báscula, la lectura siempre será la misma:

  • Si la báscula marca 10, entonces 15 es una respuesta incorrecta puesto que marcó 10.
  • Si la báscula marca 15, entonces la mitad de su peso es 7.5 y no corresponde con el problema planteado.

Pero lo cierto es que nunca cambiará simplemente por yo establecer mentalmente su peso. Si eso fuera cierto, entonces la báscula marcaría 10, luego 15, luego 22.5, luego 33.75, y se iría haciendo cada vez más pesada hasta convertirse en un hoyo negro instantáneamente. 🙂

De vuelta a lo lingüístico: mentalmente se conjetura que hay una diferencia entre peso original y peso total que surgiría de sumar, misteriosamente, 10 con el otro valor. Pero volviendo a la báscula, peso original = peso total, siempre. Nunca hay dos valores para el peso de la liebre. Por eso este planteamiento es absurdo.

El aspecto de la notación algebraica

Al escribir p = 10 + p/2, cada lado se considera como un todo independiente. En esta notación no cabe lugar a dudas que p ≠ 10 porque claramente se indica otra cosa. Automáticamente, la notación permite establecer el problema real sin ambigüedad y sin artilugios humanos.

Se podría uno cuestionar si la bondad de este lenguaje algebraico radica más en nuestra falta de conocimiento de otras notaciones, es decir, si realmente existe forma de expresar matemáticamente el problema de manera incorrecta, pero al no haberla aprendido en la escuela no tenemos lugar al error. Intentándolo, sólo se me ocurre

(p = 10) + p/2

pero tratando de interpretar la ecuación no logro interpretarla de vuelta a una proposición que pueda ser evaluada o desarrollada. Desconozco si esta notación tenga alguna aplicación en otra rama de las matemáticas. Sinceramente lo dudo porque usualmente se usan las sumatorias para formar series aditivas que son más formales, claras y no son ambiguas.

La solución, sin álgebra

El meollo del asunto: siendo un problema tan simple cómo analizarlo sin depender del álgebra.

  1. Para evitarnos liebres tomemos algo más simple, genérico: una línea, rectángulo, tabla de madera rectangular y vamos a decir que su longitud mide p.
  2. Para describir p a partir de sus secciones podemos usar nuestras manos. Sabemos que p está formado por dos componentes (p/2 y 10) y al ser aditivos y los únicos, ambos deberían abarcar la línea completa.
  3. Es decir, podemos dividir esa línea en dos secciones y describir hasta dónde abarca cada uno de los componentes. Por una parte tenemos 10, que de momento es variable, y por otra tenemos p/2 que sí sabemos hasta dónde abarca: hasta la mitad de la línea.
  4. Finalmente, sabemos que un entero está formado por dos mitades y ambas son exactamente iguales.
  5. Entonces, si una parte es p/2, la otra parte también debe ser una mitad exacta. ¡Esa mitad exacta sólo puede ser el 10! Si una mitad es 10, pues la otra también debe valer 10 y podemos concluir que la línea mide 20.

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